圆周运动（基础概念和规律、传动装置、绳球模型、杆球模型、圆锥摆、圆周运动中的连接体问题、圆周运动中的临界问题）
【清单01】圆周运动的基础概念和规律
一、圆周运动
1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。
3. 特征：匀速圆周运动中，角速度
、周期
、转速
、速率、动能都是恒定不变的；而线速度
、加速度
、合外力、动量是不断变化的。
注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系
匀速圆周运动 | 变速圆周运动 | |
运动 特点 | 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 | 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 |
图示 |
|
|
受力 特点 | 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 | 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 |
运动 性质 | 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) | 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) |
二、向心力与向心加速度
1. 向心力：
（1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。
（2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
（3）大小：
=
=
=
【注意】：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。
2．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。
（2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。
（3）大小：
=
=
=
三、线速度、角速度等基本量的关系
1.圆周运动的相关物理量
物理量 | 公式 | 单位 | 标矢性 | 物理意义 |
线速度 |
| m/s | 矢量 | 描述物体位置变化的快慢和方向 |
角速度 |
| rad/s | 矢量 | 描述物体转动的快慢和方向 |
周期 |
| s | 标量 | 描述物体转动一周所用的时间 |
频率 |
| Hz | 标量 | 描述物体在单位时间内的振动次数 |
转速 |
| r/s | 标量 | 描述物体在单位时间内的运动圈数 |
向心加速度 |
| m/s² | 矢量 | 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 |
向心力 |
| N | 矢量 | 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 |
| ||||
，
，
2. 圆周运动各物理量间的关系
【清单02】几种传动装置
几种常见的传动装置
类型 | 模型 | 模型核心 | 应用规律 |
皮带传动 |
| 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB | 角速度与半径成反比：
周期与半径成正比： |
摩擦传动 |
| 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB | 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶
周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
|
齿轮传动 |
| ||
同轴 传动 |
| 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 | 线速度与半径成正比： |
，
，
【清单03】水平面内的圆周运动
1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝mR，静摩擦力的方向一定指向圆心；
汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝mR
2. 水平转盘上运动物体模型
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝r，方向指向圆心。
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
【清单04】斜面上的圆周运动
1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2. 分析方法
物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。
【清单05】圆锥摆模型
1. 圆锥摆模型规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mT2r
r＝Lsinθ
解得T＝2πg＝2πg。
(2)结论
①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F＝cosθ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。
③摆球的加速度a＝gtanθ。
2. 圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝r知vA>vB。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2πg知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。
【注意】：解决圆锥摆临界问题的技巧
圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。
(1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。
(2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。
(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。
【清单06】汽车、火车转弯模型
水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结
模型名称 | 模型分析 |
水平路面车辆转弯模型 | 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供 |
火车转弯模型 | ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得： |
,可知最大安全转弯速度
。
,得
。因为h
L,θ角很小，所以
,则
;若火车经过弯道时的速度
,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度
,内轨将受到挤压。五、汽车过拱形桥模型
拱形桥和凹形桥模型特点
| 概述 | 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝mr |
规律 | 桥对车的支持力FN＝mg＋mr＞mg，汽车处于超重状态 | |
| 概述 | 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝mr |
规律 | 桥对车的支持力FN＝mg－mr＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 |
【清单07】圆周运动中的临界问题
1. 圆周运动常见的临界状态
（1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0；
（2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值；
（3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
2. 三类情况分析
（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。
（2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。
（3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。
【注意】：临界条件的确定：
当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。
【清单08】水平面内圆周运动中的多物体牵连问题
1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析，
，
。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，
；对木块B分析，
。解得临界角速度为
。
结论：当
时，轻绳上拉力为0；当
时，A、B相对圆盘发生滑动。
2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析，
，
。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，
；对木块B分析，
。解得临界角速度为
。
结论：当
时，轻绳上拉力为0；当
时，A、B相对圆盘发生滑动。
3. A、B两物块叠放在转盘上
（1）若
，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为
。
（2）若
，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动
。
【清单09】圆周运动中的脱轨问题
圆周运动中的脱轨问题指物体因速度不足或过大而脱离原定圆周轨迹的现象，核心在于轨道支持力（或约束力）突变为零。
1. 脱轨条件与类型
凸面轨道（如拱桥顶点）：
脱轨条件：支持力 N=0（物体与轨道无挤压）。
实际速度 v>v临：离心趋势过大 → 脱离轨道做斜抛运动。
单轨模型（如绳球、环形轨道内侧）：
脱轨点：最高点
临界速度：v=√gr
【注意】：V<√gr，重力过剩 → 未达最高点即脱离，沿抛物线坠落。
2. 解题关键
脱轨判据：
轨道支持力 N≤0时必脱轨（凸面）；
约束力突减至零（如绳松弛 T=0)。
分析步骤：
确定脱轨点（常为最高点）；
由 N=0或 T=0列临界方程；
示例：小球过竖直圆环最高点时，若 v<√gr，则未达顶点即脱轨，沿圆周切线方向斜向下坠落。
【清单10】绳球模型、杆球模型两类经典模型中的临界条件——情景分析
两类模型对比分析
轻绳模型(最高点无支撑) | 轻杆模型(最高点有支撑) | |
实例 | 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 | 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 |
图示 |
|
|
受力示意图 |
F弹向下或等于零 |
F弹向下、等于零或向上 |
力学方程 | mg＋F弹＝mR | mg±F弹＝mR |
临界特征 | F弹＝0 mg＝mR 即vmin＝ | v＝0 即F向＝0 F弹＝mg |
讨论分析 | (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝mR，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 | (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝mR，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝mR，F弹指向圆心并随v的增大而增大 |
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