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第十章 静电场中的能量

【考点1 电势能与电势的分析】

1．电势能大小的判断方法

2.电势高低的判断方法

3.多个场源点电荷形成的电场中电势高低的比较

(1)根据W_AB＝－ΔE_p及φ＝q(Ep)判断

如图所示，为了比较A、B点的电势，引入试探电荷q，将q从A移到B，则Q₁和Q₂对q的静电力所做的总功：W_AB＝W_AB1＋W_AB2；然后由W_AB的正负根据W_AB＝－ΔE_p判断q的电势能是变大还是变小；再由φ＝q(Ep)比较φ_A和φ_B的大小。

(2)根据电势的叠加判断

电势的叠加遵从代数运算法则。

证明：W_AB＝W_AB1＋W_AB2

W_AB1＝q(φ_A1－φ_B1)

W_AB2＝q(φ_A2－φ_B2)

而W_AB＝q(φ_A－φ_B)

联立可得：φ_A＝φ_A1＋φ_A2，φ_B＝φ_B1＋φ_B2，即某点的电势等于各场源电荷在该点电势的代数和。

4．几种典型电场的等势线(面)

【总结升华】

电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系

(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。

(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。

(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。

(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。

(5)电场场强的叠加遵从矢量合成法则，电势的叠加遵从代数运算法则。

【考点2 匀强电场中电势差与电场强度的关系】

1．匀强电场中电势差与电场强度的关系

(1)U_AB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。

(2)沿电场强度方向电势降落得最快。

(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：

推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φ_C＝2(φA＋φB)。

推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则U_AB＝U_CD。

2．E＝d(U)在非匀强电场中的两点妙用

(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。

(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。

【方法与技巧】

匀强电场中找等势点的方法

等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势线(或等势面)，与等势线(或等势面)垂直的线即为电场线。

【考点3 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题】

1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法

(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。

(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。

(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。

2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：

(1)电场线为直线；

(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行；

(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。

【方法与技巧】

求解此类问题的思维模板

易错点及纠正

易错点一：电势和电场强度的分析

易错题1：如图所示，在立体直角坐标系xyz中，坐标轴上的A、B、C、D、F各点至原点O点距离相同，A、B处固定有正电荷，C、D处固定有负电荷，电荷量大小均相等，设无穷远处的电势为零，则下列说法中正确的是（　　）

A．O点电场强度为零

B．O点电势为零

C．从O点静止释放一正电荷，其电势能将一直减小

D．从F点静止释放一正电荷，其将沿着y轴做匀加速直线运动

【答案】B

【详解】A．A、C处点电荷在O点的场强沿AC方向不为零，B、D处点电荷在O点的场强沿BD方向不为0，根据电场的矢量叠加可知O点场强不为0，故A错误；

B．根据等量异种点电荷的电势分布可知，y轴是等势线，且电势为0，故B正确；

C．根据电场的矢量叠加可知，从O点静止释放一正电荷，将做往复运动，电势能先减小，后增大，故C错误；

D．沿着y轴方向，电场强度变化，从F点静止释放一正电荷，不做匀加速直线运动，故D错误；

故选B。

易错点二：点电荷的等势面的应用

易错题2：如图所示，A、B、C三点为等边三角形的三个顶点，把电荷量为的正点电荷固定在A点。下列说法正确的是（　　）

A．、两点的电势相等

B．、两点的电场强度相同

C．把电荷量为的正点电荷从点移动到点，电场力对做正功

D．把电荷量为的负点电荷从点移动到点，点电荷的电势能增加

【答案】A

【详解】A．以为圆心的球面为等势面，故、两点的电势相等，A正确；

B．正点电荷的场强公式为

可知，B、C两点的场强大小相等，方向不同，B错误；

CD．由于、两点的电势相等，把任何电荷从点移动到点，电场力不做功，电荷电势能不变，CD错误。

故选A。

易错点三：非匀强电场中电势差与电场强度的关系

易错题3：（多选）电场中某区域的电场线分布如图所示。a、b、c是电场中的三个点且ab=bc，a、b、c点的电场强度分别用为E_a、E_b、E_c，a、b、c的点电势分别为：φ_a、φ_b、φ_c。a、b之间的电势差U_ab，b、c之间的电势差为U_bc。在下面的判断中正确的是（　　）

A．φ_a<φ_cB．φ_b>φ_cC．U_ab>U_bcD．U_ab<U_bc

【答案】BD

【详解】AB．由沿电场线方向电势逐渐降低可知

A错误，B正确；

CD．由电场线的疏密表示电场强度的大小，因此电场中两点间的平均电场强度则有

由电场强度与电势差的关系，可得

又有

可知

C错误，D正确。

故选BD。

易错点四：平行板电容器的动态分析

易错题4：惊蛰期间，万物复苏，雷电雨水天气增多，降雨可以很好地缓解土地干旱的现象。当云层中有大量的电荷时，云层和大地之间可视为一个巨大的平行板电容器。如图所示，云层带正电，P为云层和大地间某一点，取大地表面为零电势面，下列说法正确的是（　　）

A．P点电场强度方向向上

B．P点电势小于零

C．若云层升高过程中形状不变，云层和大地间组成的电容器电容不变

D．若云层升高过程中形状不变，云层和大地间组成的电容器电容减小

【答案】D

【详解】AB．由于云层带正电，所以P点电场强度方向向下，取大地表面为零电势面，根据沿电场方向电势降低可知，P点电势大于零，故AB错误；

CD．若云层升高过程中形状不变，则云层与大地间的距离d增大，根据

可知云层和大地间组成的电容器电容减小，故C错误，D正确。

故选D。

易错点五：多个粒子在同一电场中的加速和偏转问题

易错题5：(多选)三个电子在同一地点同时沿同一直线垂直飞入偏转电场，如图，则由此可判断(　　)

A．b和c同时飞离电场

B．在b飞离电场的瞬间，a恰好击中下极板

C．进入电场时，a速度最大，c速度最小

D．c的动能增量最小，a和b的动能增量一样大

【答案】　BD

【解析】　三个电子的质量和电荷量都相同，则知加速度相同，b、c在竖直方向上做匀加速运动且位移关系为：y_c＜y_b，根据y＝2(1)at²可知t_c＜t_b，故A错误；a、b两电子在竖直方向上的位移相等，根据y＝2(1)at²，可知运动时间相等，故B正确；在垂直于电场方向即水平方向，三个电子做匀速直线运动，则有：x＝vt，由题图可知x_c＝x_b，由以上分析可知t_c＜t_b，则v_c＞v_b，根据t_a＝t_b，x_b＞x_a，可得：v_b＞v_a，所以有：v_c＞v_b＞v_a，故C错误；根据动能定理知，静电力对a、b两电子做功一样多，所以动能增加量相等，静电力对c电子做功最少，动能增加量最小，故D正确。

【思想方法练】

一、图像法

方法概述

物理图像能从整体上反映出两个或两个以上物理量的定性或定量关系,根据题意画出图像,再利用图像分析寻找答案,能够避免烦琐的计算,迅速找出正确选项。

【例1】（多选）如图所示，一对平行金属板长为L，两板间距为d，两板间所加交变电压U_AB，交变电压的周期T=。质量为m、电荷量为e的电子从平行板左侧以速度v₀沿两板的中线持续不断的进入平行板之间，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，则（　　）

A．所有电子在两板间运动的时间为2T

B．所有电子离开电场时速度都是2v₀

C．t=时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为

D．t=时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为

【答案】AC

【详解】AB．电子进入电场后做类平抛运动，不同时刻进入电场的电子竖直方向分速度图像如图所示

依题意，可知所有电子离开极板所用时间

由图看出，所有电子离开电场时竖直方向分速度，所以所有电子离开电场时速度都等于，故A正确，B错误；

C．时刻进入电场的电子，在时刻侧位移最大，最大侧位移为

在时刻进入电场的电子侧位移最大为，则有

联立可得

故C正确；

D．时刻进入电场的电子在垂直极板方向的速度时间图像如图所示

在时刻侧位移最大，最大位移为

故D错误。

故选AC。

二、等效转换法

方法概述

等效转换法是指在用常规思维方法无法求解那些有新颖情境的物理问题时,灵活地转换研究对象或采用等效转换法将陌生的情境转换成我们熟悉的情境,进而快速求解的方法。

【例2】如图所示，有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点）与长为的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在点，其所在平面存在一与竖直方向夹角为的匀强电场，小球静止在与点等高的点。现给静止的小球一个竖直向下的初速度，小球恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度，试求：

（1）所加匀强电场的大小和方向；

（2）求小球运动到圆周最低点时的速度。

【答案】（1），左下与竖直方向夹角；（2）

【详解】（1）根据题意可知，小球受三个力处于平衡状态，根据几何关系

电场方向左下与竖直方向夹角

（2）由等效重力法可知，A点的对称点C点为等效最高点。重力与电场力的合力

等效重力加速度

恰好做圆周运动时C点对应的速度

从C点到圆周最低点B点由动能定理可得

解得

一、考点考向

1、电势能与电势的分析

考向：（1）静电力做功与电势能的关系、（2）电势高低的判断；（3）电势能与电势的关系；

（4）等势面的分析

2、匀强电场中电势差与电场强度的关系

考向：（1）匀强电场中电势差与电场强度的关系；（2）等分法确定电场线与电势高低；（3）非匀强电场中电势差与电场强度分析

3、电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题

考向：（1）电场线与粒子运动轨迹结合的问题；（2）等势线与粒子运动轨迹结合的问题；

二、常考题型

本章内容热点考查主要集中在电势、电势能与电场力做功，带电粒子在匀强电场中的运动问题，主要以选择题和解答案题形式考查。